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Question

Combien de composants ont dépassés 5000 heures de fonctionnement.

Solution

20 composant sont défaillants avant 5000 heures donc on a un nombre de survivants N(t)[1] ----> N(t=5000) = 4

Question

En déduire la fiabilité[2] à t=5000 heures ou encore la probabilité[3] de réussir une mission de 5000 heures de fonctionnement.

Indice

R ( t ) = N ( t ) N ( t = 0 ) R(t)={N(t)} over {N(t=0)}

Indice

Voir la définition de la fiabilité R(t)[4] et de la Fiabilité Observée[2]

Solution

24 composants fonctionnent à t=0, donc on a un nombre de survivants[1] à t=0 N(t=0) = 24

C'est la probabilité qu'un composant fonctionne plus de 5000 heures : c'est le rapport entre les survivants à t=5000 h sur le nombre de composants en fonctionnement à t=0.

Cette probabilité s'exprime par la fiabilité[4] R(t=5000) = N(t=5000) / N(t=0) = 4/24, soit 17 %.

Nous allons maintenant examiner de plus près l'usure de ce composant pour juger si celle-ci permets ou non d'identifier la fin de vie utile du composant.

Question

Calculer le taux de défaillance[5] entre 400 et 500 heures

Indice

λ [ t , t + dt ] = dN [ t ] N [ t ] . dt = N [ t ] − N [ t + dt ] N [ t ] . dt %lambda[t,t+dt]={func dN[t]} over {{N[ t]}.dt}={N[ t]-N[t+dt]} over {{N[ t]}.dt}

Indice

Voir la définition du taux de défaillance[5], et les grandeurs en jeu :

  • Survivants N(t)[1]

  • Défaillants dN(t)[6]

  • dt est la durée de la période considérée

Solution

Calcul détaillé pour la période 400 à 500 heures

La période étudiée est comprise entre 400 et 500 heures, soit t=400 et dt=100.

  • à t=400 heures, nous avons encore 21 composants en fonctionnement---> N(t)[1]=21.

  • à t+dt =500 heures, 20 composants fonctionnent encore ---> N(t+dt)=20.

On en déduit donc dN(t)[6] = N(t+dt)-N(t) = 21-20 = 1

on a la probabilité p(dt) qu'un composant sur les 21 soit défectueux pendant les 100 heures qui se sont écoulées entre 400 et 500 heures.

λ(t=400,t+dt=500)=1/(21*100) h-1, soit 1 composant défectueux sur 21 pendant 100 heures.

Question

Calculer le taux de défaillance entre 900 et 1200 heures

Solution

N(900) = 17, N(1200) = 15, dt=300 heures, donc dN(t=900, dt=300) = 17-15 = 2, soit un taux de défaillance de 2/(17*300) --> 3,92E-4 h-1