626-did : Fonction Exponentielle Weibull

ProcédureModèle exponentiel (626-did-MC)⚓

La Fiabilité⚓

Cette activité didactique fait référence à des notions de fiabilité prévisionnelle qui exploitent des modèles mathématiques pour la calculer

Nous allons tout d'abord utiliser le modèle exponentiel de manière simplifiée avant de calculer la série de données R(t) en fonction de la série de données t pour arriver à la représentation graphique

R(t) Modèle exponentiel
R(t) Modèle exponentiel : Tableau de données
Graphique R(t) Modèle exponentiel
Entête

  1. Tester la fonction R(t) --> Feuille essai

    Exemple⚓

    Dans la fiche du modèle exponentiel vous avez un exemple de calcul de R(t) pour une valeur précise de t.

    Vous utiliserez la fonction mathématique tableur EXP pour le calcul de R(t).

    N est le nombre de dispositifs en fonctionnement à t=0, dN est le nombre attendu de composants défaillants à t=8760h

    Modèle exponentiel (exemple de calcul simple)

    Nommez votre feuille de calcul essai, et reproduisez le tableau ci-dessus.

    Aide détaillée

    en A1, tapez le texte "lambda"

    en A3, "t"

    en A4, "Fiabilité R(t)"

    etc... pour A6 et A7

    en B1, saisir la valeur 1E-6, format.Cellule, onglet Nombre, Choisir la notation scientifique

    en B3, saisir la valeur 8760

    en B6 saisir la valeur 10000

    en B4, saisir la formule =EXP(-B1*B3)

    en B7, saisir la formule =(1-B4)*B6

    RemarqueRéférences relatives et absolues⚓

    Les formules ne sont pas recopiées et il n'est pas utile de s'en préoccuper ici. Lorsque l'on utilise la souris dans une formule pour faire référence à une cellule, c'est en relatif.

  2. Préparez votre tableau de données --> Feuille graphe

    Nommez votre feuille de calcul graphe, et reproduisez le tableau ci-dessous.

    Valeur de lambda⚓

    Lambda est un paramètre de la fonction R(t).

    L'utilisateur doit pouvoir changer sa valeur, la série R(t) sera alors recalculée et le graphique mis à jour. La valeur 0,001 n'est qu'un exemple.

    Gestion du paramètre lambda

    A

    B

    1

    Modèle exponentiel

    2

    Lambda (/hr)

    0,001

    Valeurs de t⚓

    La série de donnée t prendra les valeurs suivantes (en heures) : 0,100,200,300,500,1000,2000,3000,5000,10000.

    AttentionNom assigné à lambda⚓

    Attention, ne confondez pas la cellule qui contient le libellé "lambda" dans la cellule A2 et celle en B2 qui contient la valeur numérique de lambda.

    A2 donne la signification ou le rôle de la valeur qui se trouve en B2

    Nommez[1] lambda B2 la cellule qui contient la valeur de lambda.

    Utilisez un format scientifique pour la valeur de lambda.

    Ajoutez un titre t pour la série des temps t en A3.

    Nommez d_t la plage de cellule qui contient les valeurs de t

    Ajoutez un titre pour la série R(t) en B3

    Gestion du tableau de données

    A

    B

    4

    t

    R(t)

    5

    0

    <Formule>

    6

    100

    <Formule recopiée>

    7

    200

    <Formule recopiée>

    8

    .....

    ......

    14

    10000

    ......

    Compléments

    AttentionPlage de données⚓

    Lorsque l'on assigne un nom[1] à une plage de données, on ne sélectionne pas la cellule qui contient le titre. En effet, si vous réalisez la moyenne d'une plage nommée, la cellule de titre sera prise en compte comme en zéro et votre moyenne sera faussée.

    Par contre, les sélections de plage de données pour un tri ou un graphe doivent si possible contenir les cellules titres. En effet, les assistants du tableur utilisent les cellules titres pour choisir la colonne à trier ou encore comme libellé des axes ou légendes.

  3. Formule

    Attention

    Dans un tableau de données, les formules sont saisies sur la première ligne et obligatoirement recopiées vers le bas. Si la formule doit être modifiée, alors elle doit être à nouveau recopiée.

    Parfois, il est nécessaire sur la première ligne de saisir spécifiquement une formule pour initialiser le traitement, ce sera alors la formule de la deuxième ligne qui sera recopiée.

    Vous devez utilisez autant que faire se peut les noms assignés[1] à vos cellules ou à vos plages de données.

    Saisir votre formule, recopiez là sur toute la plage R(t), et vérifier que la valeur t=1000 donne bien 0,37

    Compléments

    Formule de R(t)⚓

    La cellule en B4 est donc tout simplement =EXP(-lambda*d_t)

  4. Graphique

    Sélectionnez la zone A4 :B14. La colonne des temps est en abscisse (X), R(t) en ordonnée (Y). Y est donc représenté en fonction de X

    Insertion.Graphe ou barre d'outils

    Réfléchissez au type de diagramme le plus adapté à la représentation d'une fonction. Si nécessaire,revoyez les concepts sur les graphiques (lien ci-dessous)

    Suivez l'assistant, testez les différentes options proposées.

    Changez la valeur 500 en 400, 1000 en 1500. Observez le tracé obtenu. Reste t-il cohérent avec l'allure d'une courbe exponentielle ?

    Les Graphes (ne)

    Choix du type de graphique

    Fonction⚓

    Un tracé de fonction est obligatoirement représenté avec le type "Nuage de points (XY)"

  5. Editeur de formule (optionnel)

    Guide d'utilisation rapide⚓

    Voir la procédure N° 22 : Guide Editeur de formules

    Lancer l'éditeur de formule puis ajoutez une nouvelle formule (Fichier.Nouveau.Formule) que vous allez sauvegarder avec le nom R_expo_t.odf.

    Insérez votre formule dans votre feuille de calcul : il s'agit bien sûr d'une image de la fonction et la formule OpenOffice Maths ne calcule absolument rien

  6. Modèle de Weibull

    Nous allons travailler avec une fonction qui dépend du temps et de 3 paramètres. Cette fonction modélise la probabilité de fonctionnement d'un équipement sur une période de 0 à un instant t. Cette probabilité sera appelée FIABILITE PREVISIONNELLE qui est définie par « l'aptitude d'un équipement à fonctionner pendant une certaine période ou mission selon des conditions spécifiées. Elle est quantifiée par une probabilité de réussite de la mission».

    La fonction appelée R(t) est définie par la loi de Weibull

    Les paramètres de la loi de Weibull sont :

    • Beta  : Paramètre de forme (sans dimension). Prendre 2.
    • Eta  : Paramètre d'échelle (en heures). Prendre 1000 h.
    • Gama  : Origine des défaillances (en heures). Prendre 100 h.

    La fiabilité R(t) sera tracée pour t de 0 à 2000 heures. Pour la série t vous utiliserez une série de donnée paramétrable avec un temps de départ (0), un pas (50) et un nombre de points (40)

    AttentionVérification à l'aide de l'exécutable Modèles Statistiques⚓

    Lien vers le fichier ZIP

    Lien vers la procédure d'installation