Dispositifs non réparables : étude par rang

Rappel :

Pré-requis :

Observations et mise en forme des données

On étudie la durée de vie (Variable T^[1]) de N dispositifs non réparables^[2] :

Les durées de vie observées seront des (ttf^[3]) : dans les formules générales, t sera donc équivalent à des ttf.

Les TTF seront classés selon un ordre croissant et on assignera à chaque ttf un rang i

Pour chaque dispositif, on identifie le rang i de la défaillance et sa durée de vie avant la défailance (ttf)

Exemple : Présentation des données de départ, des calculs intermédiaires et des caractéristiques de fiabilité

On obtient donc une mise en forme des données selon le tableau donné ci-dessous.

src 9.1 : Durée de vie (9 syst. mécanique)
Les durée de vie (Ttf) d'un système mécanique sont ordonnés selon le rang d'apparition des défaillances

Ci-dessous le tableau final de l'étude FMD pour des données de type "n_obs"

src_9.2 : Durée de vie (9 cartes électronique) : Calculs

Remarque : Lien entre le rang i, la notion de t en général et les TTF

Le rang i va être utilisé dans les formules ci-dessous mais c'est bien le temps t de la défaillance (ou Ttf) que sera utilisé pour exploiter les données ou encore représenter graphiquement les caractéristiques étudiées.

La notion de rang est utile pour les traitements informatisés : on ajoutera d'ailleurs dans les tableaux systématiquement le rang i=0 qui permettra d'initialiser certains traitements ou certaines formules recopiées vers le bas (Application tableur) ou tout simplement de faire un graphe qui dispose en abscisse de t=0 et non la première défaillance.

Quand on parle de Ttf, on est sûr que l'on traite bien le cas de dispositifs non réparables

Effectif défaillant dn

A chaque rang i, on observe une et une seule défaillance, on a donc dn(i)=1 sauf pour le rang i=0, car ce rang correspond à t=0, et sauf cas exceptionnel, il serait surprenant d'observer sur un lot une défaillance à t=0.

Définition : Densité de probabilité expérimentale des défaillances f

Elle désigne la fréquence des effectifs défaillants ou encore le pourcentage de défaillant à un instant donné. On a donc

$f [i] = \frac{dN (i)}{N} = \frac{1}{N}$

Elle permet d'observer comment sont distribuées les défaillances dans le temps ou comment elles sont réparties en %

Effectif des survivants N(i) ou N(t)

Au rang i, l'effectif de composants encore en fonctionnement (survivants) est de

Calcul avec le rang i
N(i) = N-i

On peut aussi l'exprimer de manière plus générale pour un traitement informatisé :

Traitement récursif
i = 0	N(i)=N
i >0	N(i)=N(i-1)-1

Fonction de répartition des défaillances F(t) ou F(i)

F(t) est la fonction de répartition des défaillances ou encore fonction cumulée de la fonction f.

On la calculera facilement pour chaque rang par la formule suivante : $F (i) = \frac{i}{N}$

C'est aussi la fonction cumulée de f(t). On vérifie que notamment que F(i=n)=SOMME(dn) si dans l'étude de fiabilité on a observé les N défaillances des N composants mis en service à t=0.

Lorsque N est très faible et que l'on souhaite vérifier l'adéquation des données à un modèle théorique (Modèle exponentiel^[4] ou Modèle de Weibull^[5]), on calculera F(t) ou F(i) par la formule des rangs médians^[6].

On en déduit pour chaque rang i le nombre de survivants N(i)^[7] ou encore N(TTF_i)

Le temps qui s'écoule pour la défaillance de rang i est la différence entre le TTF au rang i et le TTF au rang i-1

Attention :

Sauf cas particulier, en FMD, on exploite rarement la fonction F(t) car on lui préfère la fiabilité R(t)=1-F(t).

Définition : Fiabilité R(t)

Calcul de R(t) en fonction du rang i ou des survivants N(i)
En exploitant le calcul intermédiaire de F(i) ou du rang i	$R (i) = 1 - F (i) = \frac{N - i}{N}$
En exploitant le calcul intermédiaire de N(i)	$R (i) = \frac{N (i)}{N}$

R est une fonction toujours décroissante dans le temps comprise entre 1 et 0

Taux de défaillance

Le taux de défaillance au rang i dépend de la situation au rang précédent puisqu'il est calculé sur une période.

Au rang i = 0, Le taux de défaillance est égal à 0.

Aux rangs i >0, on observe 1 défaillance parmi N(i-1) composants encore en fonctionnement sur une période qui se calcule par la différence du temps de la défaillance de rang i et du temps de la défaillance de rang précédent (i-1) :

Définition : Calcul du taux de défaillance

$λ [i] = \frac{1}{N (i - 1) . [Ttf (i) - Ttf (i - 1)]}$

Exemple : Calcul détaillé

La première défaillance est apparue sur une durée de 200 heures de fonctionnement, soit 200-0.
La deuxième est apparue sur une durée 110 heures (310-200).
La troisième sur 90 heures (400-300).

$λ (i = 1) ou λ (t = 200 h) = \frac{1 défaillant à t = 200}{9 survivants \times 200 h} = {5,56.10}^{- 4} . h^{- 1}$

$λ (i = 2) ou λ (t = 310 h) = \frac{1 défaillant à t = 310}{8 survivants \times 110 h} = {11,36.10}^{- 4} . h^{- 1}$

Définition : MTTF

Mean Time to failure (temps moyen avant défaillance)
MTTF^[8]	$MTTF = \frac{\sum_{i = 1}^{N} {Ttf}_{i}}{N}$

Notes

Variable de survie T
Elle caractérise l'instant t de la défaillance ou la durée de vie.
T est une variable statistique (fiabilité observée) ou une variable aléatoire (fiabilité prévisionnelle)
La fiabilité est donc la probabilité que T>t, soit R(t)=prob(T>t)=N(t)/N(0)
Dispositif non réparable
Un dispositif non réparable est mis en service à t=0, fonctionne pendant un certain temps que l'on appellera TTF ou Durée de Vie.
Ensuite, il est considéré comme "mort", ou mis "au rebut".
Si on considère pour un être humain que vivre le plus longtemps possible est la mission fixée, alors, nous allons étudier l'âge du décès comme référence temporelle, et l'être humain sera alors considéré comme un dispositif non réparable.
L'observation de ces TTF est vu d'un point de vue statistique par l'étude de la variable T : variable de "survie" ou "instant t de la défaillance"
TTF
De l'anglais Time to Fail, le TTF désigne le temps de fonctionnement théorique ou observé d'un dispositif non réparable.
Ce sont les valeurs possibles prises par la variable statistique T (elle caractérise l'instant t de la défaillance ou la durée de vie)
Modèle exponentiel
Modèle théorique permettant d'évaluer la fiabilité prévisionnelle d'un dispositif caractérisé par un taux de défaillance λ constant dans le temps (pas d'usure).
- R(t)=exp(-λ.t) et λ=1/MTTF
Modèle de Weibull
Modèle théorique permettant d'évaluer la fiabilité prévisionnelle d'un dispositif :
Le paramètre β caractérise l'usure :
- β < 1 : période de jeunesse, λ décroissant
- β = 1 : période de vie utile, λ constant. On retrouve le modèle exponentiel.
- β > 1 : période de vieillesse, λ croissant. A β≈3,2, on retrouve le modèle de Gauss.
A partir d'un β>2, on considère que l'usure est forte, et qu'une politique de maintenance conditionnelle est pertinente.
R(t)=EXP[-([(t-gamma)/eta)]^β)]
Rangs médians (Fiabilité observée)
Dans le cadre d'un adéquation entre des données observée et un modèle statistique, on utilisera les rangs médians pour calculer la fiabilité observée.
Si i est le rang de la défaillance observée sur N composants et
- N est faible (<50) alors on a R(t) =1- (i-0,3)/(N+0,4)
- N est > 50 alors on a R(t)=1- [i/(N+1)]
Lorsque N est supérieur à 100 on peut utiliser R(t)=1-(i/N)=N(t)/N
Survivants N(t)
Du point de vue probabiliste N(t) est le nombre d'événements réussis.
Dispositif non réparable : sur un lot de N=N(t=0) composants mis en fonctionnement à t=0, on évalue à un instant t le nombre de composants encore en fonctionnement : statistiquement parlant, la variable T est supérieure à t (T>t). N(t) est évalué à partir des ttf observés
Dispositif réparable : sur un nombre N de défaillances observées sur un dispositif réparable , N(t) est le nombre de Tbf > t, ou encore le nombre de missions dont la durée a dépassé le temps t (ou Tbf)
Modèle théorique : dans le cadre de l'application d'un modèle théorique pour R(t), on peut s'attendre à un nombre de survivants ou de missions réussies à t de N(t=0)*R(t).
MTTF
Temps moyen de fonctionnement avant défaillance pour les dispositifs non réparables (de l'anglais Mean Time To Fail).
Cette durée de vie moyenne est associée à un niveau de confiance proche de 50% selon la répartition des défaillances ou le modèle théorique qui a permis de la définir.
On s'intéressera plutôt à la durée de vie nominale à 90% (90 % des équipement fonctionneront plus de 5000 heures)