Dispositifs non réparables : étude par période

RappelPré-requis

Dispositifs non réparables : étude par rang

Mise en forme des données

Observations et mise en forme des données

Les observations des durées de vie (ttf[1]) sont trop nombreuses (N >20 à 50) pour être traitées rang par rang. Les ttf seront regroupés par classes de durée fixe ou variable selon la valeur des effectifs obtenus. Il vaut mieux augmenter la durée d'une période et ainsi éviter d'avoir des périodes avec un effectif quasi-nul.

Par analogie avec les traitements de statistiques descriptives, on pourra consulter le chapitre Mise en forme des données.

Lorsque n est grand, on étudie le nombre de défaillances par périodes de temps de durée variable dt.

On recense pour chaque période le nombre de défaillances dN(t).

Pour chaque période, on a :

  • t (ou tdeb) représente ci-dessous le début de la période,

  • tc représente le centre de la période

  • dt représente la durée de la période

  • t+ dt représente la fin de période

On représentera ainsi N(t) ou R(t) en fonction de t (début de la période) et la densité de probabilité et le taux de défaillance en fonction du centre de la période.

AttentionNombre de périodes ou de classes

On a un nombre de classes que l'on exprime par nc. Contrairement à l'étude par rang, i désignera une période et non une défaillance.

Etude par période

En reprenant l'exemple vu dans la fiche Dispositifs non réparables par rang

En regroupant les 9 défaillances sur 3 périodes, on obtient le tableau ci-dessous.

Les caractéristiques de fiabilité sont exprimées soit en fonction de t (tdeb) soit de tc.

On retrouve 1 ligne pour chaque période. La dernière ligne est présente pour permettre de disposer dans la colonne tdeb de la limite de la dernière période.

DéfinitionRésumé des définitions

Données calculées pour chaque période

Fiabilité[2] de 0 à t

R ( t ) = N ( t ) N ( t = 0 ) R(t)={N(t)} over {N(t=0)}

Densité de Probabilité de t à t+dt

f [ tc ] = dN [ tc ] N [ t = 0 ] func f[tc]={func dN[tc]} over {func N[t=0]}

Taux de défaillance[3] de t à t+dt

λ [ tc ] = dN [ tc ] N [ t ] . dt %lambda[tc]={func dN[tc]} over {{N[t]}.dt}

Effectif des survivants N(t) et R(t)

Si i représente le rang de la période, t le début de la période, alors

  • N(t=0) = N

  • N(t) au rang i = [ N(t) au rang i-1 ] -[ dN(tc) au rang i-1 ]

On en déduit R(t)=N(t)/N

Taux de défaillance

Pour chaque période de centre tc, de début t et de durée dt, on aura λ (tc)=dN(tc) / [N(t) * dt]

ExempleCalcul détaillé

λ ( tc = 225 ) ou λ ( [ 0 − 450 ] ) = 3 défaillants entre t = 0 et t = 450 ( 9 survivants à t = 0 ) × 450 h = 7,407.10 − 4 . h − 1 %lambda(tc =225)~ ou ~%lambda([0 - 450])= {3 `défaillants ~entre~ t=0` et` t=450} over {(9 `survivants~à`t=0) times~ 450 h } = 7,407.10^-4 .h^-1

λ ( tc = 600 ) ou λ ( [ 450 − 750 ] ) = 3 défaillants entre t = 450 et t = 750 ( 6 survivants à t = 450 ) × 300 h = 16,666.10 − 4 . h − 1 %lambda(tc =600)~ ou ~%lambda([450 - 750])= {3 `défaillants ~entre~ t=450` et` t=750} over {(6 `survivants~à`t=450) times~ 300 h } = 16,666.10^-4 .h^-1

MTTF

Mean Time to failure (temps moyen avant défaillance)

MTTF[4]

MTTF = ∑ i = 1 nc dN ( tc i ) . tc i ∑ i = 1 nc dN ( tc i ) MTTF = sum from{i=1} to{nc} {{func dN(tc sub i)}.tc sub i} over sum from{i=1} to{nc} {{func dN(tc sub i)}}

dN ( tc i ) représente le nombre de défaillant sur la période de rang i tc i représente le temps au centre de la période de rang i func dN(tc sub i) " représente le nombre de défaillant sur la période de rang i"newline tc sub i " représente le temps au centre de la période de rang i "