Loi Normale

DéfinitionParamètres, densité de probabilité et fonction de répartition

Paramètres: Modification formule μ → moyenne σ → écartype X → Variable aléatoire Modification formule newline %mu rightarrow bold moyenne newline %sigma rightarrow bold écartype newline X rightarrow Variable aléatoire

X → N ( μ , σ ) X rightarrow size 16 {bold N} (%mu,%sigma)

Densité de probabilité

f ( x ) = 1 σ ⋅ 2 Π ⋅ e − 1 2 ⋅ ( x − μ σ ) 2 f(x)=1 over {%sigma cdot size 9 sqrt{2%PI}} cdot size 11 {func e^{-{size 10 1 over size 10 2} cdot size 11 ( size 11 {x-%mu} over size 11 %sigma ) ^{size 10 2} }}

Fonction de répartition

F(x) est une intégrale de f(x).dx

Propriétés

L'aire sous la courbe f est égal à 1

f(x) est symétrique par rapport à la moyenne.

La moyenne est aussi le mode et la médiane

L'aire sous la courbe f au delà de +/- 3 écart-type est négligeable

Il n'existe pas de primitive exacte de f(x), si bien que les calculs passeront par la loi normale centrée réduite (LNCR).

Densité de Probabilité et Fonction de Répartition

Modèle de Gauss. Densité et Fonction de répartition

La densité de probabilité f permet de juger de la dispersion autour de la valeur moyenne. La valeur en 1 point n'a aucune utilité, seule l'aire sous la courbe pour un intervalle donné permet d'évaluer la probabilité qu'une valeur x se trouve dans l'intervalle.

La fonction de répartition F permet de lire la probabilité que x soit compris entre -∞ et x.

ExempleExemples de distributions dites "normale"

Loi Normale : densité de probabilité (4)

Les calculs de probabilité seront effectués à l'aide de la LNCR.