Loi Normale Centrée Réduite

Repres. LNCR f(z)

La LNCR permet de calculer les probabilités pour toute Loi Normale de paramètres quelconques

Modification formule μ → moyenne σ → écartype X → Variable aléatoire Modification formule newline %mu rightarrow bold moyenne newline %sigma rightarrow bold écartype newline X rightarrow Variable aléatoire

Sa densité de probabilité f(t) est donc universelle

DéfinitionLoi Normale Centrée Réduite (LNCR)

On change la variable x en t appelée quantile de gauss

x ---> t

x

X → N ( μ , σ ) X rightarrow size 16 {bold N} (%mu,%sigma)

f ( x ) = 1 σ ⋅ 2 Π ⋅ e − 1 2 ⋅ ( x − μ σ ) 2 f(x)=1 over {%sigma cdot size 9 sqrt{2%PI}} cdot size 11 {func e^{-{size 10 1 over size 10 2} cdot size 11 ( size 11 {x-%mu} over size 11 %sigma ) ^{size 10 2} }}

t = x − μ σ t = {x-%mu} over %sigma

t → N ( 0,1 ) t rightarrow size 16 {bold N} (0,1)

f ( t ) = 1 2 Π ⋅ e − t 2 2 f(t)=1 over {size 9 sqrt{2%PI}} cdot size 11 {func e^{-{size 10 t ^{size 7 2} over size 10 2}}}

Fondamental

Chaque valeur x est donc exprimée en nombre d'écart-type par rapport à la moyenne.

99,8% sont des valeurs sont ainsi comprises entre -3 et +3 écart-type.

Exemple

calcul probabilité loi normale de - l'infini à t

Aire de - ∞ à t

calcul probabilité loi normale de t à + l'infini

Aire de t à + ∞

calcul probabilité loi normale de - l'infini à t

Aire d'un intervalle (non obligatoirement centré)

Lorsque l'on cherche la probabilité associée à un intervalle t1-t2, on a prob (t1<t<t2) = F(t2)-F(t1)

Les tables

LNCR (Table)