Loi de Poisson

Définition

La loi de poisson de paramètre m est la loi suivie par la Variable discrète K pouvant prendre toutes le valeurs entières 0,1,2, ...., k avec les probabilités.

Loi de probabilité

p m ( k ) = e − m . m k k ! p_{m}(k)=func e^{-m}.{m^{k}} over {fact {k} }

Moyenne

E(k)=m

Écart-type

σ = 1 λ %sigma=sqrt{{1} over {%lambda} }

RemarqueApproximations

Si X→B(n,p), alors X → P(m=n.p) lorsque p→0 et n→∞

Si m→∞ et X→P(m) alors X→N[m,racine(m)]. L'approximation est d'autant meilleure que n.p(1-p)>18 et p proche de 0.5

Ces approximations sont à utiliser pour simplifier les calculs.

Fondamental

Soit une suite d'événements tels que :

- Les événements dont indépendants entre eux

- La probabilité qu'un événement se réalise pendant un intervalle de temps dt est proportionnelle à dt et vaut λ.dt.

- La probabilité d'observer 2 événements sur dt est négligeable

- Le phénomène est stationnaire, c'est à dire qu'il ne dépend pas de l'origine du temps.

Alors, on dit que l'on a affaire à un processus de poisson dont λ est le taux d'arrivée