Loi de Weibull

Caractéristiques essentielles

Paramètres

β : paramètre de forme Beta η : facteur d ' échelle Eta γ : paramètre de position Gamma %beta : paramètre de forme Beta`newline %eta : facteur d'échelle Eta`newline %gamma : paramètre de position Gamma

Densité de probabilité

f ( t ) = β η ⋅ [ t − γ η ] β − 1 ⋅ e − [ t − γ η ] β f(t)={{%beta} over {%eta}} cdot {[{t-%gamma} over {%eta} ]^{%beta-1}} cdot {func e^-{[{t-%gamma} over {%eta} ]^%beta}}

Fiabilité et Fonction de répartition

R ( t ) = e − [ t − γ η ] β R(t)=func e^-{ [{{t-%gamma} over {%eta} } ]}^%beta , F(t)=1-R(t)

Taux de défaillance

λ ( t ) = β η ⋅ [ t − γ η ] β − 1 %lambda(t)={{%beta} over {%eta}} cdot {[{t-%gamma} over {%eta} ]^{%beta-1}}

Propriétés

L'aire sous la courbe f est égale à 1

Il existe une primitive exacte de f(t), si bien que les calculs seront fait via la fonction F(t) ou plus souvent par R(t) = 1-F(t) dans le cas de l'application du modèle

La loi de weibull englobe la loi exponentielle avec β=1, gamma=0 (paramètre de position) et λ = 1/ eta.

Avec β≈3,2, on se rapproche de la loi normale ou loi de gauss.

ExempleReprésentation graphique de f(t) et F(t)

Modèle de Weibull : Densité de probabilité f
Modèle de Weibull : Fonction de répartition F
taux_defaillance_weibull.png

Ajustement de la loi de Weibull - Fonction gama

Voir l'exercice 231.

Exemple