Loi Binômiale

Définition

La loi binômiale de paramètre n et p est la loi suivie par la Variable discrète K pouvant prendre toutes le valeurs entières 0,1,2, ...., k avec les probabilités.

Loi de probabilité

p ( K = k ) = n ! ( n − k ) ! . k ! ⋅ p k ⋅ ( 1 − p ) ( n − k ) p(K=k)={n!} over {(n-k)!.k!} cdot p^k cdot (1-p)^(n-k)

Récursivité

p k = m k ⋅ p k − 1 p_k = {m} over {k} cdot p_{k-1}

Moyenne

E(K)=n.p

Écart-type

σ = n ⋅ p ⋅ ( 1 − p ) %sigma=sqrt{n cdot p cdot (1-p)}

RemarqueApproximations

Si X→B(n,p), alors X → P(m=n.p) lorsque p→0 et n→∞

Si m→∞ et K→P(m) alors K→N[m,racine(m)]. L'approximation est d'autant meilleure que n.p(1-p)>18 et p proche de 0.5

Ces approximations sont à utiliser pour simplifier les calculs.

DéfinitionEpreuve de Bernouilli

L'épreuve de bernouilli est utilisée lorsqu'un phénomène donne lieu à deux résultats possibles (Oui ou non, Reussite ou echec, favorable ou défavorable, bon ou mauvais, absence ou présence).

Une variable aléatoire discrète qui prend les valeurs 0 et 1 avec les probabilités p et 1-p est appelée EPREUVE DE BERNOUILLI.

Elle a pour moyenne p et pour variance p.(1-p)

Le processus (ou loi) binômial(e) consiste simplement à renouveler n fois cette épreuve. K est donc la Variable aléatoire qui associe le nombre de succès de probabilité p à partir de n tentatives.

Fondamental

La loi binômiale repose sur le fait que les éléments prélevés sont remis dans la population de telle sorte que p reste constant.

Toutefois, si le rapport entre n taille de l'échantillon prélevé est petit (1/10) par rapport à la taille N de la population, alors l'erreur commise sur p à chaque nouvelle expérience est infime. Le rapport n/N est appelé taux de sondage.

Si le rapport n/N est supérieur à 0.1, on uilisera la loi hypergéométrique.

Le qualificatif binômiale est dû au fait que les termes de la distribution sont ceux du binôme de NEWTON.